Belajar Otodidak Saja: 3 cara penurunan rumus persamaan kuadrat (rumus abc)

Kamis, 03 April 2014

3 cara penurunan rumus persamaan kuadrat (rumus abc)

01.03 Posted by Fazrol Rozi
Labels: matematika, olimpiade matematika, rumus

Persamaan kuadrat merupakan salah satu persamaan yang paling populer di matematika, khususnya di aljabar dasar.

Persamaan umum bagi persamaan kuadrat adalah:

x adalah variabel
a, b, dan c adalah konstan
a tidak sama dengan 0

Dan yang mejadi topik utama pada persamaan kuadrat adalah menemukan nilai x yang memenuhi atau yang biasa disebut 'akar'nya atau himpunan penyelesaiannya.

Ada beberapa cara untuk mendapatkan akar bagi persamaan kuadrat tersebut. Salah satunya adalah dengan menggunakan rumus yang kita kenal sebagai rumus persamaan kuadrat atau ayng sering kita sebut sebagai Rumus abc,

Pada kesempatan kali ini, akan kita lihat beberapa penurunan rumus abc ini. Bagaimana caranya, dari persamaan kuadrat diatas bisa menjadi rumus abc,

1. Cara Pertama

Bagi persamaan kuadrat dengan a. Ini boleh dilakukan karena a tidak sama 0. (lihat: 1/0, tak hingga atau tak terdefenisi?):

$x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}=0.$

Kurangkan kedua sisi dengan c/a, Sehingga persamaan menjadi:

$x^2 + \frac{b}{a} x= -\frac{c}{a}.$
Untuk menghilangkan pangka 2 nya, maka perlu kita dapatkan kuadrat sempurna untuk ruas kiri. Dengan cara menambahkan kedua ruas dengan dengan (b/2a)²

$x^2+\frac{b}{a}x+\left( \frac{1}{2}\frac{b}{a} \right)^2 =-\frac{c}{a}+\left( \frac{1}{2}\frac{b}{a} \right)^2,$
Maka, pada ruas kiri bisa dijadikan dalam bentuk kuadrat sempurna sebagai berikut.

$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}$

Kemudian kita sederhanakan ruas kanan menjadi

$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}.$

Didapatkan kuadrat sempurna. Selanjutnya kita akar kuadratkan kedua ruas tersebut dan didapatlah.

$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}.$

Tinggalkan x sendiri diruas kiri dan didapatlah rumus abc yang dicari. :D

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}.$

(Simbol plus-minus "±" Bermaksud bahwa ada dua himpunan penyelesaian)

2. Cara Kedua

Kita ada persamaan kuadrat,

$ax^2+bx+c=0$

Kalikan persamaan tersebut dengan 4a, Sehingga persamaan menjadi:

$4 a^2 x^2 + 4abx + 4ac=0$
Pindah ruaskan yang tidak memiliki variabel x,

$4 a^2 x^2 + 4abx = -4ac$
Kedua ruas kita tambahkan dengan b²

$4 a^2 x^2 + 4abx + b^2 = b^2 - 4ac$

Ruas kiri sudah bisa menjadi kuadrat sempurna,

$(2ax + b)^2 = b^2 - 4ac$

Selanjutnya kita akar kuadratkan kedua ruas tersebut,

$2ax + b = \pm \sqrt{b^2-4ac}$

Pindah ruas b dari kiri kekanan

$2ax = -b \pm \sqrt{b^2-4ac}$
Tinggalkan x sendiri diruas kiri dan dapatlah Rumus abc yang kita cari:

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}$

3. Cara Ketiga

Misalkan akar dari persamaan kuadrat adalah $r_1$ dan $r_2$ . Setalah itu, ingat salah satu identitas dalam aljabar:

$(r_1 - r_2)^2 = (r_1 + r_2)^2 - 4r_1r_2$

akar kuadratkan kedua ruas

$r_1 - r_2 = \pm\sqrt{(r_1 + r_2)^2 - 4r_1r_2}$

Lalu ingat bahwa penjumlah dari akar persamaan kuadrat adalah: $-\frac{b}{a}$
Sedangkan hasil kalinya adalah: $\frac{c}{a}$
Maka persamaan $r_1$ - $r_2$ di atas menjadi:

$r_1 - r_2 = \pm\sqrt{(-\frac{b}{a})^2-4\frac{c}{a}} = \pm\sqrt{\frac{b^2}{a^2} - \frac{4ac}{a^2}} = \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}$
Untuk mendapatkan nilai untuk penyelesaian x secara umum. Perlu kita tuliskan kedalam bentuk $r_1$ saja atau $r_2$ saja.

$x = \frac{(r_1 + r_2) + (r_1 - r_2)}{2} = \frac{-\frac{b}{a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{a}}{2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$