Nol bagi Nol itu Sesuatu yah..

Suatu bilangan dibagi 0 hasilnya adalah tak terdefenisi. (Lihat: 1 bagi 0)
Tapi ini tidak berlaku untuk 0 / 0, nol bagi nol.

Kok bisa?
Di kelas, biasanya saya menjelaskan kepada mahasiswa kalau 0/0 itu jawabannya adalah "SESUATU" (diucapkan seperti Syahrini, hahaha)

Perhatikan contoh berikut:

Lalu, lihat contoh yang ini:

Read More ->>

[LOGIKA] Jika saya lapar maka saya kenyang

Satu ketika, disebuah grup saya mendapatkan sebuah soal yang cukup menarik, mengenai logika. Berikut soalnya..

Pada soal ini mereka mempertanyakan kesimpulan yang hasilnya tidak sesuai logika. Sebab jika diikuti aturan silogisme seperti berikut,

Maka dengan proposisinya adalah sebagai berikut: 

p: Saya lapar,
q: Saya makan dan
r: Saya kenyang

akan didapat kesimpulan: Jika saya lapar maka saya kenyang.

Gak masuk akal bukan? Kata mereka yang mempertanyakan.

Mari kita lihat disisi yang berbeda.

Jika kita sepakat bahwa, lapar adalah lawan dari kenyang. Maka proposisi 'Saya lapar' adalah 'p' sedangkan proposisi 'saya kenyang' adalah ~p atau negasi dari p.

Maka silogismenya akan menjadi, 

Untuk bentuk yang lebih sederhana, (ingat sifat bahwa p -> q setara dengan ~p V q)

Kesimpulannya adalah ~p atau Saya kenyang.

Udah bisa diterima logika kan? :D hhehehee...

Tapi.... Ada yang perlu kita luruskan.

Pelajaran logika sebenarnya bukan tentang BENAR atau SALAH, TRUE or FALSE.

Lebih tepat kita katakan tentang VALID atau TIDAK VALID.

Contoh permasalahan diatas, ketika orang menyimpulkan Jika saya lapar maka saya kenyang. Maka sebenarnya ini sudah valid secara logika, berdasarkan premis yang diberi.

Hanya saja, sebagian kita membawanya kepada pelajaran bahasa, yang akhirnya pembahasan berubah menjadi pembahasan bahasa, bukan tentang kevalidan cara berfikir atau logika. :D

Semoga bermanfaat..

Read More ->>

[BUKTI] 1 = 0 (Bagian 2)

Perhatikan persamaan dibawah ini,

Wah, ini lagi, ada yang membuktikan kalau 1 = 0.

Read More ->>

1 bagi 0, tak hingga atau tak terdefenisi?!

Ketika awal kelas, terkadang saya suka bertanya kepada mahasiswa tentang sesuatu yang sederhana, tapi sering orang khilaf dalam memahaminya. Salah satu pertanyaan favorit saya adalah,

"1 bagi 0, berapa hasilnya?!"

Dan seperti yang saya duga, ramai mahasiswa  yang masih bingung dengan jawabannya.

Jawaban yang kerap dilontarkan adalah, "tak hingga". Mungkin karena mengingat pelajaran tentang limit (InsyaAllah kita bahas dikesempatan yang lain). Tapi tanpa mengurangi rasa hormat, jawaban ini masih belum tepat.

Lalu apa jawabannya? Mari kita analogikan dengan keadaan sebenar.

Misalkan kita terkunci di dalam sebuah ruangan, SENDIRI. Seorang mafia besar sedang mempermainkan kita.
"Kalau kamu ingin selamat, berikan satu bungkus makanan tersebut kepada seseorang selain dirimu di ruangan ini." Bos mafia tertawa bengis sambil melempar dua bungkus nasi Padang, lalu meninggalkan kita sendiri terkunci di dalam ruangan.

Kira-kira seperti itu analoginya (analogi yang aneh?). Kita diwajibkan membagi kepada tidak seorangpun atau 1/0. (apa-apaan ini?????). Inikan namanya maksa! Kita wajib melakukan sesuatu yang tidak mungkin. Ini diluar kemampuan manusia. Dan akhirnya kita sepakat kalau perintah ini TIDAK TERDEFENISI.

Oke, mari kita lihat penjelasan yang lebih matematis.
Perhatikan aritmatika sederhana dibawah.

Maka persamaan ini bisa dijawab: apakah bilangan yang jika dikalikan 2 hasilnya 6? atau ? x 2 = 6

Tapi, bagaimana dengan 'bagi 0'?

 ? x 0 = 6 Apakah bilangan yang jika dikalikan 0 hasilnya 6? 

Karena tidak bisa didapatkan bilangan tersebut, maka suatu bilangan jika dibagi 0, hasilnya adalah tidak terdefenisi.

(Catatan: Tapi ini tidak berlaku untuk 0/0, insyaAllah lain waktu kita jelaskan:)

Read More ->>

[KONSEP ASAS] Geometri Segitiga

Geometri merupakan satu cabang matematika yang tertua. Matematika tanpa geometri ibarat ukiran tanpa bentuk. Bahkan, saking pentingnya, pada abad ke-4 sebelum Masehi, Plato pernah menulis dipintu masuk kamarnya, "yang tidak paham geometri dilarang masuk!"

Bagi teman-teman, terutama yang selalu mengikuti kompetisi matematika, terkadang soal-soal geometri menjadi satu momok, karena biasanya aktif menganalisa dengan otak kiri, menghadapi geometri kita terpaksa menggunakan kedua bagian otak, kiri dan kanan.

Berikut adalah beberapa konsep dasar tentang geometri yang harus diketahui. Pada bagian ini akan kita bahas tentang geometri segitiga.

Defenisi 1: Orthocenter bagi sebuah segitiga adalah titik temu ketiga tinggi segitiga.

Orthocenter

Read More ->>

Apa itu kalkulus? (Bab: Turunan)

Setelah membahas pertanyaan "Apa itu kalkulus?"

(lihat: Apa itu Kalkulus?

Kelas saya lanjutkan dengan sebuah pertanyaan lagi, "apa itu turunan?"

Untuk pertanyaan kali ini, banyak yang memberikan suara lebah, "ngggg...", "hmmmmm....", "hhhhhh..".

Tak heran, untuk soal pertama saja mereka tidak percaya diri.

y' atau "dy/dx" Ini kan yang namanya turunan?

"Iya Pak..." jawab mereka tidak serempak.

Saya terangkan bahwa, turunan adalah satu konsep tentang perubahan,

perubahan suatu objek akan mempengaruhi perubahan yang lain.

Read More ->>

[Intro] Apa itu Kalkulus?

Khamis 31 Maret 2011, Hari pertama mengajar Kalkulus, menggantikan seorang teman yang berhalangan untuk mengajar. Ini adalah pertemuan kelima bagi mahasiswa, namun yang pertama bagi saya. Mata kuliah dilanjutkan menyambung apa yang telah diajarkan.

Sebelum materi dimulai, Saya bertanya, "apa itu kalkulus?", hampir seluruh kelas sibuk membolak-balik catatan (kecuali yang tidak membawa), beraneka jawaban saya terima, "hitung-hitungan", "salah satu cabang matematika", "logika dan turunan" dan banyak lagi, satu-persatu secara acak saya tanya, yang duduk didepan maupun belakang. Saya hargai semua jawaban, dan bagi saya tidak ada yang salah. Hanya yang bagi tidak mempunyai jawaban, saya sedikit menyayangkan.

"PD, jangan takut salah" Kebanyakan mereka tidak percaya diri, takut salah atau bahkan tidak tau sama sekali. Ini yang saya tekankan, "jangan takut salah, anda tidak akan saya salahkan, melainkan akan saya koreksi dan benarkan, bukankah itu tugas saya disini." 

Sepertinya mereka mengikatkan diri pada buku teks. Kebebasan berfikir -Imajinasi lebih penting dari sekedar ilmu pasti- tidak begitu tertanam dalam diri mereka. Namun, saya tak ingin mengusut, apa dan siapa penyebab ini semua, menghabiskan waktu saja.

Seperti soal yang tadi, "apa itu kalkulus?"

Salahkah jika saya jawab,

"kalkulus adalah mata kuliah yang saya ajarkan saat ini." 

Fazrol Rozi :D

Jum'at, 1 April 2011

Read More ->>

[PUISI] Kalkulus Cinta

Kan ku ceritakan kepadamu,

sebuah fungsi yang indah,

fungsi yang akan membawamu terbang,

tinggi menuju asimtot hidupmu.

Ini tentang fungsi Cinta,

sebuah fungsi konstan,

f(x) = cinta,

Siapa x?

Bisa jadi kau, aku dan kita semua.

Fungsi ini mempunyai satu limit,

dari manapun kau mendatangi,

kiri maupun kanan,

dengan siapapun kau mendatangi,

variabel ataupun konstan lain,

0 ataupun tak hingga.

Fungsi ini tak akan berubah,

Tetap satu konstan,

C-i-n-t-a, Cinta.

Jikalau fungsi ini kita turunkan..

Fungsi cinta akan menjadi 0..

Apa itu 0?

0 adalah Ikhlas, tanpa pamrih.

Cinta tak harapkan pamrih.

0 adalah sabar, menahan dan mencegah.

Cinta tak inginkan sebuah nilai untuk dihargai.

0 adalah syukur, tanpa rasa sombong.

Cinta adalah integral dari rasa syukur.

Kan kukatakan kepadamu,

bagaimana masuk ke dalam fungsi Cinta.

Tidak susah, asal kau mau,

mau untuk mengintegralkan cinta kedalam dirimu.

Ku andaikan kau x..

Integral (cinta) dx = (cinta)x + C

Apa maksudnya ini?

maksudnya adalah dirimu, x,

yang telah memiliki cinta,

Di tambah C.

Apa itu C?

C adalah sebuah konstan.

Sebuah Konstan yang juga kau inginkan.

yaitu

Cinta...

Fazrol Rozi :)

Read More ->>

[TEKA-TEKI] Apa isi kotak yang kosong? (ronde 2)

Setelah bisa menjawab soal yang sebelumnya.
Lihat: Apa isi kotak yang kosong?

Coba selesaikan soal yang berikut ini: (kali ini gak ada pilihan jawaban, hehehe)

Read More ->>

[TEKA-TEKI] Apa isi kotak yang kosong?

Coba perhatikan gambar dibawah, tentukan bagaimana polanya kemudian pilih jawaban yang benar untuk mengisi kotak yang kosong.

Selamat Berusaha... :D

Read More ->>

Sulap Matematika 4

Ada masanya ketika berkumpul bersama teman atau keluarga, kita kehabisan bahan untuk diceritakan.
Daripada bengong, coba ambil secarik kertas dan sebuah pena. Atau jika malas berhitung, tinggal pakai kalkulator digadget masing-masing (bagusnya si hitung manual, biar sekalian senam otak, hehehe).

Minta rekan anda tersebut memilih sebuah angka antara 10 hingga 100, selanjutnya angka ini dinamakan sebagai angka A.

Kemudian ikuti arahan berikut ini:

1. Jumlahkan dengan 6. Hasilnya menjadi angka B.
2. angka A dan B masing-masing dipangkat 2.
3. Lalu hasilnya dikurangkan: B² - A²  
4. Beritahu hasilnya.

Dari hasil tersebut, anda bisa mengetahui angka yang dipilih pertama (angka A).

Contoh:
Misalkan angka A = 45

1. Angka B: 45 +6 = 51
2. A² = 45² =  2025,  B² = 51² =  2601,
3. B² - A²  = 2601-2025
4. Hasil Akhir = 576

Nahh.. Kuncinya ada pada arahan pertama.
Ketika kita memilih angka 6.

6 kali 2, kita dapat 12.

Hasil akhir yang diberi kita bagi 12 >>> 576/12 = 48
Angka yang kita dapat ini terletak diantara A dan B. 
Jaraknya 6/2 = 3.
A = 48 - 3
B = 48 +3

Read More ->>

[UNIK] Hasil Akarnya Bulat

Bisakah anda mendapatkan polanya.. :D

Read More ->>

[TEKA-TEKI] Save More Money

Save More Money. 'Simpan uang lebih banyak'. Tapi ini bukan tentang uang, lagipun sekarang musimnya bukan perbanyak simpan, melainkan perbanyak memberi. Kata orang Bule, The Power of Giving.

Kembali kepada Save Your Money, eh.. maksudnya SAVE MORE MONEY.

Perhatikan gambar dibawah,
gantikan tiap-tiap huruf menjadi angka,
satu huruf untuk satu angka.
Beda huruf berarti beda angka.
Sehingga penjumlahan SAVE+MORE=MONEY adalah benar.
(ada beberapa kemungkinan jawaban)

Read More ->>

Sulap Matematika 3

Berikut ini permainan lain yang bisa kita mainkan bersama anak atau keponakan, sekalian belajar berhitung. Hehehe..

Sediakan kertas bila perlu.

1. Pilih sembarang angka. 
2. Tambahkan dengan 1.
3. Jumlahkan arahan 1 dan 2.
4. Oke.. selanjutnya, tambahkan dengan 13
5. Bagi 2
6. Kurangkan hasilnya dengan angka yang pertama tadi.

Sekarang anda sudah tahu bahwa jawabannya adalah 7. Tadaaaa... :D

Begini penjelasannya:

Kuncinya adalah pada arahan ke 4.
Pilihlah sembarang angka ganjil untuk arahan ke 4, misalkan X.
Maka akan didapati jawabannya adalah (X + 1)/2

Berarti, kalau kita memilih angka 9, maka jawaban akhirnya adalah (9+1)/2 = 5.
Kalau angkanya 83, maka jawabannya adalah (83+1)/2 = 42.
Begitu seterunya.

Selamat bermain dan belajar :D

Read More ->>

Sulap Matematika 2

Menunggu guru atau dosen kadang membosankan. Terlebih lagi seperti sekarang ini, suasana semakin individualis ketika tiap orang sibuk dengan alat elektronik masing-masing. Ramai tapi tetap sepi.

Wah.. Sepertinya permainan-permainan lawas yang mengundang keramaian mesti diaktifkan kembali. Biar suasana kelas lebih hidup, dan fitrah kita sebagai makhluk sosial bisa terpenuhi.

Permainan berikut bisa dipraktekkan ketika sedang tidak ada kegiatan tatkala menunggu guru atau dosen.

1. Minta seorang kawan untuk menuliskan tahun lahirnya.
2. Lalu dibawahnya tulis sebuah tahun yang istemewa dalam hidupnya.
3. Selanjutnya, tuliskan jumlah uang yang ada didalam dompetnya.
4. Terus tuliskan umurnya saat ini.
5. Tuliskan, sudah tahun berlalu semenjak kejadian istemewa itu terjadi (kejadian pada arahan 2).
6. Minta ia sebutkan total jumlah angka-angka yang telah dituliskan.

Dari jumlah angka yang dituliskan tersebut, anda bisa menebak jumlah uang yang ada didompet kawan tersebut. :D hehehe

Caranya, 

Sebenarnya, jika arahan ke 3 tidak dimasukkan (jumlah uang didompet), maka kita akan mendapatkan hasil yang sama. Yaitu, tahun sekarang dikali 2, misalkan sekarang tahun 2014, maka hasil akhirnya adalah
2014 x 2 = 4028.

Maka untuk mengetahui jumlah uang yang ada didompet adalah hasil akhir - 4028.

Contoh.
Berikut ini yang ditulis oleh rekan kita mengikuti arahan secara rahasia.
Lahir tahun               1989 (Masehi)
Tahun istemewa       2010 (Masehi)
Uang didompet       15000 (rupiah) 
Umur                             25  (Tahun)
Kejadian istemewa        4  (tahun yang lalu)

Total:                      19028 (nilai total ini yang dikasih tahu ke kita)

Jumlah uang = 19028 - 4028 = 15000

:D

Read More ->>

Sulap Matematika

Ketika kumpul bersama keluarga atau teman sebaya, tentunya kita perlu pembicaraan yang santai dan menghangatkan suasana. Salah satunya adalah dengan bermain teka-teki.

Salah satu permainan yang bisa kita mainkan adalah sebagai berikut.

Minta salah seorang keluarga atau teman anda memilih 3 buah angka dari 0 hingga 9. (Misal: 3, 7, 4). Kemudian minta ia menghitung didalam hati arahan sebagai berikut.

1. Bilangan pertama dikalikan 2.                                                        >> 3 x 2 = 6
2. Hasilnya (arahan 1) ditambah 3.                                                     >> 6 + 3 = 9
3. Lalu kalikan (hasil arahan 2) dengan 5.                                         >> 9 x 5 = 45
4. Jumlahkan hasilnya (arahan 3) dengan angka yang kedua.         >> 45 + 7 = 52
5. Hasilnya dikali dengan 10                                                               >> 52 x 10 = 520
6. Jumlahkan dengan bilangan ketiga.                                               >> 520 + 4 = 524

Lalu, minta teman anda tersebut memberitahu hasilnya.                                          524

Mengetahui hasil tersebut, anda bisa langsung menebak 3 angka yang dipilih pada awal permainan ini. Caranya: Hasil akhir dikurangi dengan 150.

524 - 150 = 374

374 (angka pertama, angka kedua dan angka ketiga)

Selamat Mencoba :D

Read More ->>

Serba 17

1. 17 adalah bilangan asli antara 16 dan 18 :D
2. 17 adalah bilangan prima ketujuh.
3. 17 adalah jumlah dua buah kuadrat: 17 = 1² + 4² 
4. 17 adalah hipotenusa dari rumus pitagoras: 17² = 8² + 15² 
5. Pada tahun 1798 (17, 9 + 8 = 17), Gauss menemukan cara membuat sebuah heptadecagon (atau 17-gon) yaitu poligon 17 sisi dengan hanya menggunakan penggaris dan jangka.
6. 17 satu-satunya bilangan prima yang bisa seperti ini:                       17³ = 4913 dan 4 + 9 + 1 + 3 = 17
7. 17 adalah bilangan terkecil yang bisa direpresentasikan melalui penjumlahan 3 buah bilangan prima sebanyak 4 kali:                           17 = 2 + 2 + 13 = 3+3+11 = 3+7+7 = 5+5+7
8. 17, telpon no ini di Prancis. Anda akan berurusan dengan Polisi.
9. 17 adalah pangkat Mersenne prime yang keenam: 2¹⁷-1 = 131071
10. Takut dengan bilangan 17 dinamakan 'heptadecaphobia' atau 'heptakaidekaphobia'.
11. Empat digit pertama dari 2^(17+17)  adalah 1717
12. 17 x 65359477124183 = 1111111111111111
13. Sekitar 17 otot diperlukan untuk tersenyum  (42 kalau cemberut)
14. (17¹⁷+1)/(17+1) adalah bilangan prima
15. 17 adalah bilangan yang sering dipilih jika seseorang diminta memilih sebuah angka secara acak.
16. 17 = 10001 = 122 = 101 = 32 = 25 = 23 = 21 = 18 (penulisan 17 kedalam bentuk bilangan basis 2, basis 3, ..., basis 9)
17. Raka'at adalah jumlah raka'at sholat wajib dalam sehari semalam seorang Muslim :)

Read More ->>

[TEKA-TEKI] Apel dan Jeruk

Ada tiga buah kotak, satu kotak berisi apel, yang satu lagi berisi jeruk dan kotak yang terakhir berisi apek dan jeruk. Ketiga kotak tersebut diberi label, hanya saja semua label pada kotak tersebut salah.

Misalkan seorang teman anda memilih salah satu kotak, kemudian mengambil satu buah dari dalamnya. Dengan hanya melihat kotak yang dipilih dan buah yang terambil. Bisakah anda membenarkan label kotak tersebut? Jelaskan jawaban anda. :D

Read More ->>

Kutipan Matematika (Math Quotes)

Bagi mereka yang suka dan cinta dengan matematika, ada kepuasan tersendiri ketika mereka mengetahui atau bahkan menemukan keunikan-keunikan mengenai matematika. Yang sederhana misalnya mengenai bilangan. 

Beberapa fakta berikut, sepertinya layak untuk anda ketahui. Selamta menyaksikan.. (seperti acara on the spot aja, hehehehe)

Read More ->>

{TEKA-TEKI] Kemana Arah Sepedanya?

Suatu hari yang lembab, Sherlock Holmes dan dr. Watson sedang menyelidiki keberadaan seorang anak saudagar yang sering bolos kuliah. (cerita ini hanya fiktif, hehehee)

Sherlock Holmes: Menurutmu, kearah mana sepeda ini melintas? Kearah sekolah atau sebaliknya?

dr. Watson: Sepertinya Kearah sekolah.

Sherlock Holmes: Kau salah Watson, sepeda ini sedang menjauhi sekolah.

Berikut ini adalah denah (skala lebar 20 kaki), lintasan yang dibuat oleh sepeda tersebut (lintasan roda depan dan roda belakang). 

Hanya berdasarkan denah diatas, bisa kita ketahui kemana arah sepeda itu melintas (juga bisa diketahui kira-kira panjang sepedanya).

Bisakah anda menemukannya? :D

Read More ->>

[BUKTI] 0 = 1

Perhatikan hitung-hitungan berikut ini.

Wow!
0 = 1??

Sepertinya perhitungan diatas mirip dengan kasus dukun yang bisa menggandakan uang atau pesulap yang ada di TV: "dari tidak ada, bisa menjadi ada".

Tapi, kalau dilihat lebih mendalam, sebenarnya ini hanyalah trik belaka. Trik yang dibuat sengaja ataupun karena tidak tahu. Bahasa mudahnya, INI PENIPUAN!!! x_x

Lalu dimana kenanya?

Perhatikan baris ke 6 dan 7.

Penghapusan 'pangkat 2' pada persamaan diatas dilakukan secara sepihak. Sebab, suatu bilangan berpangkat dua, jika dihilangkan pangkatnya (di akar kan). Maka defenisinya adalah sebagai berikut:

Maka, perhitungan diatas seharusnya adalah seperti berikut ini:

Jadi, berhati-hatilah dengan orang yang mengklaim bisa mendatangkan sesuatu dari tidak ada menjadi ada. :D

Read More ->>

Uniknya Bilangan

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dan 0. Merupakan sistem bilangan yang kita gunakaan saat ini. Dan tahukah anda, bahwa sistem bilangan ini dinamakan sebagai sistem bilangan Arab. Karena orang yang berperan besar dalam mengenalkan bilangan ini yang itu Al-Khawarizmi dan Al-Kindi, sama-sama menulisnya dalam bahasa Arab.

Penulisan tombol HP di arab.

Sekarang, mari kita lihat beberapa keunikan berhubungan dengan bilangan-bilangan tersebut.

123456789 x 9  = 111 111 111

123456789 x 18 = 222 222 222 

123456789 x 27 = 333 333 333 

123456789 x 36 = 444 444 444

123456789 x 45 = 555 555 555 

123456789 x 54 = 666 666 666 

123456789 x 63 = 777 777 777 

123456789 x 72 = 888 888 888 

123456789 x 81 = 888 888 888

987654321 x 9   = 08 888 888 889

987654321 x 18 = 17 777 777 778

987654321 x 27 = 26 666 666 667

987654321 x 36 = 35 555 555 556

987654321 x 45 = 44 444 444 445

987654321 x 54 = 53 333 333 334

987654321 x 63 = 62 222 222 223

987654321 x 72 = 71 111 111 112

987654321 x 81 = 80 000 000 001

09 = (0 . 9) + (0 + 9) 

19 = (1 · 9) + (1 + 9) 

29 = (2 . 9) + (2 + 9) 

39 = (3 . 9) + (3 + 9) 

49 = (4 . 9) + (4 + 9) 

59 = (5 . 9) + (5 + 9) 

69 = (6 . 9) + (6 + 9) 

79 = (7 . 9) + (7 + 9) 

89 = (8 . 9) + (8 + 9) 

99 = (9 . 9) + (9 + 9)

Read More ->>